Упр.2.26 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 2.26. При каких значениях параметра а уравнение 4^x-(a+1)·2^x+2a-2=0 имеет два различных корня?

Положим $$t=2^x,$$ тогда $$t>0$$ и уравнение принимает вид

$$t^2-(a+1)t+2a-2=0.$$

Чтобы уравнение имело два различных корня по $$x,$$ квадратное уравнение относительно $$t$$ должно иметь два различных положительных корня.

Найдём дискриминант:

$$D=(a+1)^2-4(2a-2)=a^2-6a+9=(a-3)^2.$$

Для двух различных корней нужно $$D>0,$$ то есть $$a\ne 3.$$

Корни уравнения:

$$t_{1,2}=\frac{a+1\pm(a-3)}{2}.$$

Тогда

$$t_1=\frac{a+1-(a-3)}{2}=2,$$

$$t_2=\frac{a+1+(a-3)}{2}=a-1.$$

Оба корня должны быть положительными:

$$2>0,$$

$$a-1>0 \;\Rightarrow\; a>1.$$

С учётом условия $$a\ne 3$$ получаем:

$$a>1,\quad a\ne 3.$$

Значит,

$$a\in(1;3)\cup(3;+\infty).$$

Ответ

$$a\in(1;3)\cup(3;+\infty).$$