Упр.2.25 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 2.25. При каких значениях параметра а уравнение 25^x+5^(x+1)-a^2+a+6=0 не имеет корней?

Положим $$t=5^x,$$ тогда $$t>0.$$ Уравнение примет вид

$$t^2+5t-a^2+a+6=0.$$

Найдём корни этого квадратного уравнения:

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot(-a^2+a+6)=25+4a^2-4a-24=4a^2-4a+1=(2a-1)^2.$$

Тогда

$$t_{1,2}=\frac{-5\pm(2a-1)}{2}.$$

Получаем:

$$t_1=\frac{-5-(2a-1)}{2}=-a-2,$$

$$t_2=\frac{-5+(2a-1)}{2}=a-3.$$

Чтобы исходное уравнение не имело корней, оба значения $$t$$ должны быть неположительными, так как $$t=5^x>0.$$ Значит,

$$-a-2\le 0,\qquad a-3\le 0.$$

Отсюда

$$a\ge -2,\qquad a\le 3.$$

Следовательно,

$$a\in[-2;3].$$

Ответ

$$[-2;3]$$