Упр.2.24 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 2.24. При каких значениях параметра а уравнение 9^x-(a+1)·3^x+3a-6=0 имеет единственный корень?

Подробный ответ

Положим $$t=3^x,$$ тогда $$t>0$$ и уравнение принимает вид

$$t^2-(a+1)t+3a-6=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(a+1)^2-4(3a-6)=a^2-10a+25=(a-5)^2.$$

Корни квадратного уравнения:

$$t_{1,2}=\frac{a+1\pm(a-5)}{2}.$$

Получаем

$$t_1=\frac{a+1-(a-5)}{2}=3,$$

$$t_2=\frac{a+1+(a-5)}{2}=a-2.$$

Так как $$t=3^x>0,$$ уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда один из корней по $$t$$ положителен, а другой не даёт допустимого значения:

если $$a-2\le 0,$$ то второй корень не подходит, и остаётся единственный корень $$t=3$$;
если $$a-2>0,$$ то оба корня допустимы, кроме случая совпадения корней, то есть $$a-2=3,$$ но это невозможно, так как тогда $$a=5$$ и корни совпадают.

При $$a=5$$ имеем

$$t^2-6t+9=0,$$

то есть один двукратный корень $$t=3,$$ а значит, единственный корень по $$x$$.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень при

$$a\le 2 \quad \text{или} \quad a=5.$$