Упр.2.21 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 2.21. Решите уравнение (v(2+v3))^x+(v(2-v3))^x=4.

Пусть $$y=\sqrt{2+\sqrt{3}}.$$ Тогда

$$\sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\frac{1}{y},$$

и данное уравнение принимает вид

$$y^x+y^{-x}=4.$$

Обозначим $$t=y^x.$$ Тогда $$t>0$$ и

$$t+\frac{1}{t}=4.$$

Умножим на $$t$$:

$$t^2-4t+1=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=16-4=12,$$

$$t=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}.$$

Теперь найдём $$x$$.

1) Если $$y^x=2+\sqrt{3},$$ то

$$\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^x=\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2,$$

откуда $$x=2.$$

2) Если $$y^x=2-\sqrt{3},$$ то

$$2-\sqrt{3}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^{-2},$$

значит, $$x=-2.$$

Ответ

$$x=-2,\;2.$$