Упр.2.20 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 2.20. Решите уравнение v(1+3^x-9^x)=v(4-3·3^x).

Рассмотрим уравнение:

$$\sqrt{1+3^x-9^x}=\sqrt{4-3\cdot 3^x}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$1+3^x-9^x=4-3\cdot 3^x.$$

Положим $$t=3^x$$, тогда $$9^x=(3^x)^2=t^2$$. Получаем:

$$1+t-t^2=4-3t.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$t^2-4t+3=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(t-1\right)\left(t-3\right)=0.$$

Отсюда:

$$t=1 \quad \text{или} \quad t=3.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$3^x=1 \Rightarrow x=0,$$

$$3^x=3 \Rightarrow x=1.$$

Проверим найденные значения в исходном уравнении.

При $$x=0$$:

$$\sqrt{1+3^0-9^0}=\sqrt{1+1-1}=\sqrt{1}=1,$$

$$\sqrt{4-3\cdot 3^0}=\sqrt{4-3}=\sqrt{1}=1.$$

Значение подходит.

При $$x=1$$:

$$1+3^1-9^1=1+3-9=-5,$$

подкоренное выражение отрицательно, значит это значение не подходит.

Ответ

$$x=0.$$