Упр.2.2 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 0,4^(x^2-x-6)=1; 7) 100^x=0,01v10;
2) (3/5)^x=5/3; 8) (2/5)^x·(25/8)^x=125/64;
3) 0,7^x=2 2/49; 9) 2^(x-1)·3^(x-1)=1/36·6^(2x+5);
4) 9^(-x)=27; 10) 32^(3/5 x-2)=4^(6-3/2 x);
5) v(2^x)=8^(-2/3); 11) 3^(x^2-9)=7^(x^2-9);
6) (2/9)^(2x+3)=4,5^(x-2); 12) 16^(5-3x)=0,125^(5x-6).

1. $$0{,}4^{x^2-x-6}=1$$

   Так как $$0{,}4 \ne 1$$, то показатель должен быть равен нулю:

   $$x^2-x-6=0$$
   $$D=1+24=25$$
   $$x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}$$
   $$x_1=-2,\quad x_2=3$$

2. $$\left(\frac35\right)^x=\frac53=\left(\frac35\right)^{-1}$$
   $$x=-1$$
3. $$0{,}7^x=2\frac{2}{49}$$
   $$0{,}7^x=\frac{100}{49}=\left(\frac{10}{7}\right)^2=\left(\frac{7}{10}\right)^{-2}$$
   $$x=-2$$
4. $$9^{-x}=27$$
   $$3^{-2x}=3^3$$
   $$-2x=3$$
   $$x=-\frac32$$
5. $$\sqrt{2^x}=8^{-\frac23}$$
   $$2^{\frac{x}{2}}=2^{3\cdot\left(-\frac23\right)}=2^{-2}$$
   $$\frac{x}{2}=-2$$
   $$x=-4$$
6. $$\left(\frac29\right)^{2x+3}=4{,}5^{x-2}$$
   $$\left(\frac92\right)^{-(2x+3)}=\left(\frac92\right)^{x-2}$$
   $$-2x-3=x-2$$
   $$3x=-1$$
   $$x=-\frac13$$
7. $$100^x=0{,}01\sqrt{10}$$
   $$10^{2x}=10^{-2}\cdot 10^{\frac12}=10^{-\frac32}$$
   $$2x=-\frac32$$
   $$x=-\frac34$$
8. $$\left(\frac25\right)^x\cdot\left(\frac{25}{8}\right)^x=\frac{125}{64}$$
   $$\left(\frac25\cdot\frac{25}{8}\right)^x=\left(\frac54\right)^x=\frac{125}{64}=\left(\frac54\right)^3$$
   $$x=3$$
9. $$2^{x-1}\cdot 3^{x-1}=\frac1{36}\cdot 6^{2x+5}$$
   $$6^{x-1}=6^{-2}\cdot 6^{2x+5}$$
   $$x-1=-2+(2x+5)$$
   $$x=-4$$
10. $$32^{\frac35x-2}=4^{6-\frac32x}$$
    $$2^{5\left(\frac35x-2\right)}=2^{2\left(6-\frac32x\right)}$$
    $$3x-10=12-3x$$
    $$6x=22$$
    $$x=\frac{11}{3}$$
11. $$3^{x^2-9}=7^{x^2-9}$$
    Так как основания разные и больше 1, то показатель должен быть равен нулю:
    $$x^2-9=0$$
    $$x=\pm 3$$
12. $$16^{5-3x}=0{,}125^{5x-6}$$
    $$2^{4(5-3x)}=\left(\frac18\right)^{5x-6}$$
    $$2^{20-12x}=2^{-3(5x-6)}$$
    $$20-12x=18-15x$$
    $$3x=-2$$
    $$x=-\frac23$$

Ответ

1) $$-2;\ 3$$; 2) $$-1$$; 3) $$-2$$; 4) $$-\frac32$$; 5) $$-4$$; 6) $$-\frac13$$; 7) $$-\frac34$$; 8) $$3$$; 9) $$-4$$; 10) $$\frac{11}{3}$$; 11) $$-3;\ 3$$; 12) $$-\frac23$$.