Упр.2.19 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 2.19. Решите уравнение v(4^x-2^x-3)=v(4·2^x-7).

Обозначим $$t=2^x,$$ тогда $$t>0.$$ Уравнение принимает вид

$$\sqrt{4^x-2^x-3}=\sqrt{4\cdot 2^x-7}$$

или

$$\sqrt{t^2-t-3}=\sqrt{4t-7}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$t^2-t-3=4t-7,$$

$$t^2-5t+4=0,$$

$$\left(t-1\right)\left(t-4\right)=0.$$

Отсюда

$$t=1 \text{ или } t=4.$$

Так как $$t=2^x,$$ получаем:

$$2^x=1 \Rightarrow x=0,$$

$$2^x=4 \Rightarrow x=2.$$

Проверим найденные значения:

$$x=0:\ \sqrt{4^0-2^0-3}=\sqrt{-3},$$

это не подходит.

$$x=2:\ \sqrt{4^2-2^2-3}=\sqrt{16-4-3}=\sqrt{9}=3,$$

$$\sqrt{4\cdot 2^2-7}=\sqrt{16-7}=\sqrt{9}=3.$$

Значит, подходит только $$x=2.$$

Ответ

$$2$$