Упр.2.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 4·9^x-7·12^x+3·16^x=0; 2) 5·2^x+2·5^x=7·10^(x/2).

1. $$4\cdot 9^x-7\cdot 12^x+3\cdot 16^x=0$$

   Представим степени через $$3^x$$ и $$4^x$$:

   $$4\cdot 3^{2x}-7\cdot 3^x4^x+3\cdot 4^{2x}=0$$

   Обозначим $$t=\left(\frac{3}{4}\right)^x$$. Тогда

   $$4t^2-7t+3=0$$

   $$D=49-48=1$$

   $$t_{1,2}=\frac{7\pm 1}{8}$$

   $$t_1=1,\quad t_2=\frac{3}{4}$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\left(\frac{3}{4}\right)^x=1 \Rightarrow x=0$$

   $$\left(\frac{3}{4}\right)^x=\frac{3}{4} \Rightarrow x=1$$

2. $$5\cdot 2^x+2\cdot 5^x=7\cdot 10^{x/2}$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$5\cdot 2^x-7\cdot 10^{x/2}+2\cdot 5^x=0$$

   Запишем через $$\left(\frac{2}{5}\right)^x$$:

   $$5\left(\frac{2}{5}\right)^x-7\left(\frac{2}{5}\right)^{x/2}+2=0$$

   Обозначим $$t=\left(\frac{2}{5}\right)^{x/2}$$. Тогда

   $$5t^2-7t+2=0$$

   $$D=49-40=9$$

   $$t_{1,2}=\frac{7\pm 3}{10}$$

   $$t_1=1,\quad t_2=\frac{2}{5}$$

   Тогда

   $$\left(\frac{2}{5}\right)^{x/2}=1 \Rightarrow x=0$$

   $$\left(\frac{2}{5}\right)^{x/2}=\frac{2}{5} \Rightarrow x=2$$

Ответ

1) $$x=0,\,1$$; 2) $$x=0,\,2$$.