Упр.2.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) 3·2^(2x)-5·6^x+2·3^(2x)=0; 3) 7·49^x+3·28^x=4·16^x;
2) 2^(2x+1)-7·10^x+25^(x+0,5)=0; 4) 9^x+4^x=2·6^x.

Подробный ответ

$$3\cdot 2^{2x}-5\cdot 6^x+2\cdot 3^{2x}=0$$
$$3\cdot \left(2^x\right)^2-5\cdot 2^x3^x+2\cdot \left(3^x\right)^2=0$$
Положим $$t=\left(\frac{2}{3}\right)^x.$$ Тогда
$$3t^2-5t+2=0$$
$$D=25-24=1$$
$$t_1=\frac{5-1}{6}=\frac{2}{3}, \quad t_2=\frac{5+1}{6}=1$$
$$\left(\frac{2}{3}\right)^x=\frac{2}{3} \Rightarrow x=1$$
$$\left(\frac{2}{3}\right)^x=1 \Rightarrow x=0$$
$$2^{2x+1}-7\cdot 10^x+25^{x+0,5}=0$$
$$2\cdot 2^{2x}-7\cdot 10^x+5\cdot 5^{2x}=0$$
$$2\cdot \left(2^x\right)^2-7\cdot 2^x5^x+5\cdot \left(5^x\right)^2=0$$
Положим $$t=\left(\frac{2}{5}\right)^x.$$ Тогда
$$2t^2-7t+5=0$$
$$D=49-40=9$$
$$t_1=\frac{7-3}{4}=1, \quad t_2=\frac{7+3}{4}=\frac{5}{2}$$
$$\left(\frac{2}{5}\right)^x=1 \Rightarrow x=0$$
$$\left(\frac{2}{5}\right)^x=\frac{5}{2} \Rightarrow x=-1$$
$$7\cdot 49^x+3\cdot 28^x=4\cdot 16^x$$
$$7\cdot 7^{2x}+3\cdot 7^x4^x-4\cdot 4^{2x}=0$$
$$7\cdot \left(\frac{7}{4}\right)^{2x}+3\cdot \left(\frac{7}{4}\right)^x-4=0$$
Положим $$t=\left(\frac{7}{4}\right)^x.$$ Тогда
$$7t^2+3t-4=0$$
$$D=9+112=121$$
$$t_1=\frac{-3-11}{14}=-1, \quad t_2=\frac{-3+11}{14}=\frac{4}{7}$$
Так как $$t=\left(\frac{7}{4}\right)^x>0,$$ значение $$t=-1$$ не подходит.
$$\left(\frac{7}{4}\right)^x=\frac{4}{7}=\left(\frac{7}{4}\right)^{-1} \Rightarrow x=-1$$
$$9^x+4^x=2\cdot 6^x$$
$$3^{2x}+2^{2x}=2\cdot 3^x2^x$$
$$\left(3^x-2^x\right)^2=0$$
$$3^x=2^x$$
$$\left(\frac{3}{2}\right)^x=1 \Rightarrow x=0$$