Упр.2.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 8^(2/x)-2^((2x+3)/x)-32=0; 3) 2^(cos(2x))-3·2^(cos^2(x))+4=0.
2) 5^(v(x-2))-5^(1-v(x-2))-4=0;

1) $$8^{\frac{2}{x}}-2^{\frac{2x+3}{x}}-32=0.$$

Представим всё через основание $$2$$:

$$
2^{\frac{6}{x}}-2^2\cdot 2^{\frac{3}{x}}-32=0.
$$

Обозначим $$t=2^{\frac{3}{x}}$$, тогда $$2^{\frac{6}{x}}=t^2$$. Получаем:

$$
t^2-4t-32=0.
$$

$$
D=16+128=144,\quad t_{1,2}=\frac{4\pm 12}{2}.
$$

$$
t_1=8,\quad t_2=-4.
$$

Так как $$t=2^{\frac{3}{x}}>0$$, подходит только $$t=8$$:

$$
2^{\frac{3}{x}}=8=2^3 \Rightarrow \frac{3}{x}=3 \Rightarrow x=1.
$$

2) $$5^{\sqrt{x-2}}-5^{1-\sqrt{x-2}}-4=0.$$

Пусть $$t=5^{\sqrt{x-2}}$$, тогда

$$
5^{1-\sqrt{x-2}}=\frac{5}{t}.
$$

Получаем уравнение:

$$
t-\frac{5}{t}-4=0.
$$

Умножим на $$t$$:

$$
t^2-4t-5=0.
$$

$$
D=16+20=36,\quad t_{1,2}=\frac{4\pm 6}{2}.
$$

$$
t_1=5,\quad t_2=-1.
$$

Так как $$t>0$$, берём $$t=5$$:

$$
5^{\sqrt{x-2}}=5 \Rightarrow \sqrt{x-2}=1 \Rightarrow x=3.
$$

3) $$2^{\cos 2x}-3\cdot 2^{\cos^2 x}+4=0.$$

Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:

$$
2^{2\cos^2 x-1}-3\cdot 2^{\cos^2 x}+4=0.
$$

Пусть $$t=2^{\cos^2 x}$$. Тогда

$$
2^{2\cos^2 x-1}=\frac{1}{2}t^2.
$$

Получаем:

$$
\frac{1}{2}t^2-3t+4=0.
$$

Умножим на $$2$$:

$$
t^2-6t+8=0.
$$

$$
D=36-32=4,\quad t_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}.
$$

$$
t_1=2,\quad t_2=4.
$$

1) $$2^{\cos^2 x}=2 \Rightarrow \cos^2 x=1 \Rightarrow \cos x=\pm 1 \Rightarrow x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$2^{\cos^2 x}=4 \Rightarrow \cos^2 x=2,$$ что невозможно.

Значит, $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=1$$; 2) $$x=3$$; 3) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$