Упр.2.15 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) 27^(2/x)-2·3^((x+3)/x)-27=0; 5) 5·2^(cos^2(x))-2^(sin^2(x))=3;
2) (49^x)^(1/3)-50·(7^(x-3))^(1/3)+1=0; 6) 4^(cos(2x))+4^(cos^2(x))=3;
3) 2^(v(x+1))=3·2^(2-v(x+1))+1; 7) 4^(tg^2(x))+2^(1/cos^2(x))-80=0.
4) 3^(v(x-5))+3^(2-v(x-5))=6;
$$27^{\frac{2}{x}}-2\cdot 3^{\frac{x+3}{x}}-27=0.$$
Представим всё через основание $$3$$:
$$3^{\frac{6}{x}}-2\cdot 3^{\frac{3}{x}+1}-27=0.$$
Положим $$t=3^{\frac{3}{x}}$$, тогда $$3^{\frac{6}{x}}=t^2$$, и получаем:
$$t^2-6t-27=0.$$
$$D=36+108=144,$$
$$t_{1,2}=\frac{6\pm 12}{2}.$$
$$t_1=-3,\quad t_2=9.$$
Так как $$t=3^{\frac{3}{x}}>0,$$ то подходит только $$t=9$$:
$$3^{\frac{3}{x}}=9=3^2,$$
$$\frac{3}{x}=2,\quad x=\frac{3}{2}.$$
$$\sqrt[3]{49^x}-50\sqrt[3]{7^{x-3}}+1=0.$$
Преобразуем:
$$7^{\frac{2x}{3}}-50\cdot 7^{\frac{x}{3}-1}+1=0.$$
Положим $$t=7^{\frac{x}{3}}$$. Тогда $$7^{\frac{2x}{3}}=t^2$$, а $$7^{\frac{x}{3}-1}=\frac{t}{7}$$:
$$t^2-\frac{50}{7}t+1=0.$$
Умножим на $$7$$:
$$7t^2-50t+7=0.$$
$$D=2500-196=2304,$$
$$t_{1,2}=\frac{50\pm 48}{14}.$$
$$t_1=\frac{1}{7},\quad t_2=7.$$
Тогда:
$$7^{\frac{x}{3}}=\frac{1}{7}=7^{-1}\Rightarrow x=-3,$$
$$7^{\frac{x}{3}}=7\Rightarrow x=3.$$
$$2^{\sqrt{x+1}}=3\cdot 2^{2-\sqrt{x+1}}+1.$$
Положим $$t=2^{\sqrt{x+1}}$$. Тогда $$2^{2-\sqrt{x+1}}=\frac{4}{t}$$:
$$t=3\cdot \frac{4}{t}+1.$$
$$t^2-t-12=0.$$
$$D=1+48=49,$$
$$t_{1,2}=\frac{1\pm 7}{2}.$$
$$t_1=-3,\quad t_2=4.$$
Так как $$t=2^{\sqrt{x+1}}>0,$$ то:
$$2^{\sqrt{x+1}}=4=2^2,$$
$$\sqrt{x+1}=2,\quad x=3.$$
$$3^{\sqrt{x-5}}+3^{2-\sqrt{x-5}}=6.$$
Положим $$t=3^{\sqrt{x-5}}$$. Тогда $$3^{2-\sqrt{x-5}}=\frac{9}{t}$$:
$$t+\frac{9}{t}=6.$$
$$t^2-6t+9=0,$$
$$\left(t-3\right)^2=0,$$
$$t=3.$$
Тогда
$$3^{\sqrt{x-5}}=3,$$
$$\sqrt{x-5}=1,\quad x=6.$$
$$5\cdot 2^{\cos^2 x}-2^{\sin^2 x}=3.$$
Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x,$$ то
$$5\cdot 2^{\cos^2 x}-2^{1-\cos^2 x}=3.$$
Положим $$t=2^{\cos^2 x}$$. Тогда $$2^{1-\cos^2 x}=\frac{2}{t}$$:
$$5t-\frac{2}{t}=3.$$
$$5t^2-3t-2=0.$$
$$D=9+40=49,$$
$$t_{1,2}=\frac{3\pm 7}{10}.$$
$$t_1=-\frac{2}{5},\quad t_2=1.$$
Так как $$t>0,$$ то $$t=1$$:
$$2^{\cos^2 x}=1,$$
$$\cos^2 x=0,$$
$$\cos x=0,$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$4^{\cos 2x}+4^{\cos^2 x}=3.$$
Используем $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:
$$4^{2\cos^2 x-1}+4^{\cos^2 x}=3.$$
Положим $$t=4^{\cos^2 x}$$. Тогда $$4^{2\cos^2 x-1}=\frac{t^2}{4}$$:
$$\frac{t^2}{4}+t=3.$$
$$t^2+4t-12=0.$$
$$D=16+48=64,$$
$$t_{1,2}=\frac{-4\pm 8}{2}.$$
$$t_1=-6,\quad t_2=2.$$
Так как $$t>0,$$ то $$t=2$$:
$$4^{\cos^2 x}=2=4^{1/2},$$
$$\cos^2 x=\frac12,$$
$$\cos x=\pm \frac{\sqrt2}{2}.$$
Отсюда
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
$$4^{\tg^2 x}+2^{\frac{1}{\cos^2 x}}-80=0.$$
Так как $$\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tg^2 x,$$ то
$$4^{\tg^2 x}+2^{1+\tg^2 x}-80=0.$$
Положим $$t=2^{\tg^2 x}$$. Тогда $$4^{\tg^2 x}=t^2$$, а $$2^{1+\tg^2 x}=2t$$:
$$t^2+2t-80=0.$$
$$D=4+320=324,$$
$$t_{1,2}=\frac{-2\pm 18}{2}.$$
$$t_1=-10,\quad t_2=8.$$
Так как $$t>0,$$ то $$t=8$$:
$$2^{\tg^2 x}=8=2^3,$$
$$\tg^2 x=3,$$
$$\tg x=\pm \sqrt3,$$
$$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) $$x=\frac{3}{2}$$; 2) $$x=-3,\ 3$$; 3) $$x=3$$; 4) $$x=6$$; 5) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; 6) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$; 7) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.
