Упр.2.14 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 6^x+6^(x-1)-6^(x-2)=7^x-8·7^(x-2);
2) 5^x-2·5^(x-1)=3^(x+1)-2·3^(x-2);
3) 2^(vx+1)-3^(vx)=3^(vx-1)-2^(vx).

1. $$6^x+6^{x-1}-6^{x-2}=7^x-8\cdot 7^{x-2}$$

   Вынесем степени с одинаковыми основаниями:
   $$6^{x-2}(6^2+6-1)=7^{x-2}(7^2-8)$$

   $$6^{x-2}\cdot 41=7^{x-2}\cdot 41$$

   $$6^{x-2}=7^{x-2}$$

   Тогда
   $$\left(\frac{6}{7}\right)^{x-2}=1$$

   Значит,
   $$x-2=0,$$
   откуда
   $$x=2.$$

2. $$5^x-2\cdot 5^{x-1}=3^{x+1}-2\cdot 3^{x-2}$$

   Преобразуем:
   $$5^{x-1}(5-2)=3^{x-2}(3^3-2)$$

   $$3\cdot 5^{x-1}=25\cdot 3^{x-2}$$

   Перепишем в виде степеней с одинаковыми основаниями:
   $$5^x\cdot \frac{3}{5}=3^x\cdot \frac{25}{9}$$

   $$5^x\cdot \frac{3}{5}=3^x\cdot \frac{25}{9}$$
   $$5^x\cdot \frac{27}{45}=3^x\cdot \frac{125}{45}$$

   Получаем:
   $$5^x\cdot 27=3^x\cdot 125$$
   $$\left(\frac{5}{3}\right)^x=\frac{125}{27}=\left(\frac{5}{3}\right)^3$$

   Следовательно,
   $$x=3.$$

3. $$2^{\sqrt{x}+1}-3^{\sqrt{x}}=3^{\sqrt{x}-1}-2^{\sqrt{x}}$$

   Перенесём слагаемые и вынесем общие множители:
   $$2^{\sqrt{x}}\cdot 2-2^{\sqrt{x}}=3^{\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{3}+3^{\sqrt{x}}$$

   $$2^{\sqrt{x}}(2-1)=3^{\sqrt{x}}\left(1+\frac{1}{3}\right)$$

   $$2^{\sqrt{x}}=\frac{4}{3}\,3^{\sqrt{x}}$$

   $$\left(\frac{2}{3}\right)^{\sqrt{x}}=\frac{4}{9}=\left(\frac{2}{3}\right)^2$$

   Тогда
   $$\sqrt{x}=2,$$
   откуда
   $$x=4.$$

Ответ

1) $$2$$; 2) $$3$$; 3) $$4$$.