Упр.2.13 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) 2^x+2^(x-1)+2^(x-2)=3^x-3^(x-1)+3^(x-2);
2) 3^(x^2+2)-5^(x^2-1)=5^(x^2+1)+3^(x^2-1);
3) 7^x-5^(x+2)=2·7^(x-1)-118·5^(x-1).
$$2^x+2^{x-1}+2^{x-2}=3^x-3^{x-1}+3^{x-2}$$
Вынесем степени с наименьшими показателями:
$$2^x\left(1+\frac12+\frac14\right)=3^x\left(1-\frac13+\frac19\right)$$$$2^x\cdot \frac74=3^x\cdot \frac79$$
$$2^x\cdot 9=3^x\cdot 4$$
$$\left(\frac23\right)^x=\frac49=\left(\frac23\right)^2$$
Следовательно, $$x=2$$.
$$3^{x^2+2}-5^{x^2-1}=5^{x^2+1}+3^{x^2-1}$$
Преобразуем степени:
$$3^{x^2}\cdot 3^2-3^{x^2}\cdot 3^{-1}=5^{x^2}\cdot 5+5^{x^2}\cdot 5^{-1}$$$$3^{x^2}\left(9-\frac13\right)=5^{x^2}\left(5+\frac15\right)$$
$$3^{x^2}\cdot \frac{26}{3}=5^{x^2}\cdot \frac{26}{5}$$
$$\left(\frac35\right)^{x^2}=\frac35$$
Тогда $$x^2=1$$, откуда $$x=-1$$ или $$x=1$$.
$$7^x-5^{x+2}=2\cdot 7^{x-1}-118\cdot 5^{x-1}$$
Перенесём и преобразуем:
$$7^x-2\cdot 7^{x-1}=5^{x+2}-118\cdot 5^{x-1}$$$$7^x\left(1-\frac27\right)=5^x\left(25-\frac{118}{5}\right)$$
$$7^x\cdot \frac57=5^x\cdot \frac75$$
$$\left(\frac75\right)^x=\frac{49}{25}=\left(\frac75\right)^2$$
Следовательно, $$x=2$$.
Ответ
1) $$2$$; 2) $$-1,\,1$$; 3) $$2$$.
