Упр.2.12 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) 3^(2x+1)-10·3^x+3=0; 4) 4^(x+0,5)+7·2^x=4;
2) 3^(3-2x)-3·2^(1-x)+1=0; 5) 3·5^(2x-1)-2·5^(x-1)=0,2;
3) 5^x-0,2^(x-1)=4; 6) 5/(3^x-6)+5/(3^x+6)=2.

Подробный ответ

$$3^{2x+1}-10\cdot 3^x+3=0$$
$$3\cdot 3^{2x}-10\cdot 3^x+3=0$$
Обозначим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:
$$3t^2-10t+3=0$$
$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=100-36=64$$
$$t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{2\cdot 3}$$
$$t_1=\frac13,\quad t_2=3$$
Тогда:
$$3^x=\frac13 \Rightarrow x=-1$$
$$3^x=3 \Rightarrow x=1$$
$$3^{3-2x}-3\cdot 2^{1-x}+1=0$$
$$27\cdot 3^{-2x}-3\cdot 2\cdot 2^{-x}+1=0$$
Удобнее перейти к степеням с основанием $$2^x$$:
$$8\cdot \frac{1}{2^{2x}}-3\cdot \frac{1}{2^x}+1=0$$
Умножим на $$2^{2x}$$:
$$8-3\cdot 2^x+2^{2x}=0$$
$$2^{2x}-6\cdot 2^x+8=0$$
Обозначим $$t=2^x$$, тогда:
$$t^2-6t+8=0$$
$$D=6^2-4\cdot 8=36-32=4$$
$$t_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}$$
$$t_1=2,\quad t_2=4$$
Значит:
$$2^x=2 \Rightarrow x=1$$
$$2^x=4 \Rightarrow x=2$$
$$5^x-0{,}2^{\,x-1}=4$$
Так как $$0{,}2=\frac15$$, то:
$$5^x-\left(\frac15\right)^{x-1}=4$$
$$5^x-5^{1-x}=4$$
Умножим на $$5^x$$:
$$5^{2x}-5=4\cdot 5^x$$
$$5^{2x}-4\cdot 5^x-5=0$$
Обозначим $$t=5^x$$, тогда:
$$t^2-4t-5=0$$
$$D=4^2+4\cdot 5=16+20=36$$
$$t_{1,2}=\frac{4\pm 6}{2}$$
$$t_1=-1,\quad t_2=5$$
Так как $$5^x>0$$, значение $$t=-1$$ не подходит. Тогда:
$$5^x=5 \Rightarrow x=1$$
$$4^{x+0{,}5}+7\cdot 2^x=4$$
$$4^{x+0{,}5}=4^x\cdot 4^{0{,}5}=2^{2x}\cdot 2=2\cdot 2^{2x}$$
Получаем:
$$2\cdot 2^{2x}+7\cdot 2^x-4=0$$
Обозначим $$t=2^x$$, тогда:
$$2t^2+7t-4=0$$
$$D=7^2-4\cdot 2\cdot (-4)=49+32=81$$
$$t_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{2\cdot 2}$$
$$t_1=-4,\quad t_2=\frac12$$
Так как $$2^x>0$$, значение $$t=-4$$ не подходит. Тогда:
$$2^x=\frac12 \Rightarrow x=-1$$
$$3\cdot 5^{2x-1}-2\cdot 5^{x-1}=0{,}2$$
$$3\cdot \frac{1}{5}\cdot 5^{2x}-2\cdot \frac{1}{5}\cdot 5^x=\frac15$$
Умножим на $$5$$:
$$3\cdot 5^{2x}-2\cdot 5^x=1$$
$$3\cdot 5^{2x}-2\cdot 5^x-1=0$$
Обозначим $$t=5^x$$, тогда:
$$3t^2-2t-1=0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot (-1)=4+12=16$$
$$t_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2\cdot 3}$$
$$t_1=-\frac13,\quad t_2=1$$
Так как $$5^x>0$$, значение $$t=-\frac13$$ не подходит. Тогда:
$$5^x=1 \Rightarrow x=0$$
$$\frac{5}{3^x-6}+\frac{5}{3^x+6}=2$$
ОДЗ:
$$3^x\ne 6,\quad 3^x\ne -6$$
Второе условие всегда выполняется, так как $$3^x>0$$.
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{5(3^x+6)+5(3^x-6)}{(3^x-6)(3^x+6)}=2$$
$$\frac{10\cdot 3^x}{3^{2x}-36}=2$$
$$10\cdot 3^x=2(3^{2x}-36)$$
$$2\cdot 3^{2x}-10\cdot 3^x-72=0$$
$$3^{2x}-5\cdot 3^x-36=0$$
Обозначим $$t=3^x$$, тогда:
$$t^2-5t-36=0$$
$$D=5^2+4\cdot 36=25+144=169$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 13}{2}$$
$$t_1=-4,\quad t_2=9$$
Так как $$3^x>0$$, значение $$t=-4$$ не подходит. Тогда:
$$3^x=9 \Rightarrow x=2$$