Упр.2.11 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 2^(2x+1)-5·2^x+2=0; 4) 9^x-6·3^(x-1)=3;
2) 4^(x+1)+4^(1-x)=10; 5) 3^(x+1)+3^(2-x)=28;
3) 5^(2x-3)-2·5^(x-2)=3; 6) 9/(2^x-1)-21/(2^x+1)=2.

1. $$2^{2x+1}-5\cdot 2^x+2=0$$
   
   Положим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и
   $$2t^2-5t+2=0.$$
   
   $$D=25-16=9,$$
   $$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}.$$
   
   Получаем:
   $$t_1=\frac12,\quad t_2=2.$$
   
   Тогда
   $$2^x=\frac12 \Rightarrow x=-1,$$
   $$2^x=2 \Rightarrow x=1.$$
2. $$4^{x+1}+4^{1-x}=10$$
   
   Положим $$t=4^x$$, тогда $$t>0$$ и
   $$4t+\frac{4}{t}=10.$$
   
   Умножим на $$t$$:
   $$4t^2-10t+4=0,$$
   $$2t^2-5t+2=0.$$
   
   $$D=25-16=9,$$
   $$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}.$$
   
   Получаем:
   $$t_1=\frac12,\quad t_2=2.$$
   
   Тогда
   $$4^x=\frac12 \Rightarrow x=-\frac12,$$
   $$4^x=2 \Rightarrow x=\frac12.$$
3. $$5^{2x-3}-2\cdot 5^{x-2}=3$$
   
   Положим $$t=5^x$$, тогда $$t>0$$ и
   $$\frac{t^2}{125}-2\cdot \frac{t}{25}-3=0.$$
   
   Умножим на $$125$$:
   $$t^2-10t-375=0.$$
   
   $$D=100+1500=1600,$$
   $$t_{1,2}=\frac{10\pm 40}{2}.$$
   
   Получаем:
   $$t_1=-15,\quad t_2=25.$$
   
   Так как $$t>0$$, подходит только $$t=25$$:
   $$5^x=25=5^2 \Rightarrow x=2.$$
4. $$9^x-6\cdot 3^{x-1}=3$$
   
   Положим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и
   $$3^{2x}-6\cdot \frac{3^x}{3}=3.$$
   
   Получаем:
   $$t^2-2t-3=0.$$
   
   $$D=4+12=16,$$
   $$t_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}.$$
   
   Тогда
   $$t_1=-1,\quad t_2=3.$$
   
   С учётом $$t>0$$:
   $$3^x=3 \Rightarrow x=1.$$
5. $$3^{x+1}+3^{2-x}=28$$
   
   Положим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и
   $$3t+\frac{9}{t}=28.$$
   
   Умножим на $$t$$:
   $$3t^2-28t+9=0.$$
   
   $$D=28^2-4\cdot 3\cdot 9=784-108=676,$$
   $$t_{1,2}=\frac{28\pm 26}{6}.$$
   
   Получаем:
   $$t_1=\frac13,\quad t_2=9.$$
   
   Тогда
   $$3^x=\frac13 \Rightarrow x=-1,$$
   $$3^x=9 \Rightarrow x=2.$$
6. $$\frac{9}{2^x-1}-\frac{21}{2^x+1}=2$$
   
   ОДЗ:
   $$2^x-1\ne 0,\quad 2^x+1\ne 0.$$
   
   Положим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и
   $$\frac{9}{t-1}-\frac{21}{t+1}=2.$$
   
   Умножим на $$t^2-1$$:
   $$9(t+1)-21(t-1)=2(t^2-1).$$
   
   $$9t+9-21t+21=2t^2-2,$$
   $$2t^2+12t-32=0,$$
   $$t^2+6t-16=0.$$
   
   $$D=36+64=100,$$
   $$t_{1,2}=\frac{-6\pm 10}{2}.$$
   
   Получаем:
   $$t_1=-8,\quad t_2=2.$$
   
   С учётом $$t>0$$:
   $$2^x=2 \Rightarrow x=1.$$

Ответ

1) $$-1; 1$$; 2) $$-\frac12; \frac12$$; 3) $$2$$; 4) $$1$$; 5) $$-1; 2$$; 6) $$1$$.