Упр.18.33 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 18.33. Выпускники курсов иностранных языков изучали английский, немецкий и французский языки. Вероятность того, что наугад выбранный выпускник знает английский и немецкий языки, равна 0,6, немецкий и французский — 0,5, а английский и французский — 0,4. Может ли администрация курсов гарантировать, что в среднем каждый четвёртый выпускник знает все три языка?

Подробный ответ

Обозначим события:

$$A$$ — выпускник знает английский и немецкий;
$$B$$ — выпускник знает немецкий и французский;
$$C$$ — выпускник знает английский и французский.

По условию:

$$P(A)=0{,}6,\quad P(B)=0{,}5,\quad P(C)=0{,}4.$$

Пусть $$x$$ — вероятность того, что выпускник знает все три языка. Тогда каждый из трёх языков попадает в соответствующие пары, и сумма вероятностей пар не может быть меньше суммы вероятностей, учитывающей тройное пересечение:

$$P(A)+P(B)+P(C)=2x+P(\text{знает ровно два языка})+P(\text{знает все три языка}).$$

Удобнее воспользоваться оценкой для тройного пересечения:

$$P(A\cap B\cap C)\ge \frac{P(A)+P(B)+P(C)-1}{2}.$$

Подставим значения:

$$P(A\cap B\cap C)\ge \frac{0{,}6+0{,}5+0{,}4-1}{2}=\frac{0{,}5}{2}=0{,}25.$$

Значит, вероятность того, что выпускник знает все три языка, может быть не меньше $$0{,}25$$, то есть в среднем каждый четвёртый выпускник.