Упр.17.7 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (а+*)^4=*+*+*+*+16b^4;
2) (*+*)^5=x^10+10x^8+*+*+*+*.

Используем формулу бинома Ньютона:

$$
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k.
$$

1. В последнем слагаемом стоит $$16b^4$$, значит удобно взять $$b=2b$$. Тогда

   $$
   (a+2b)^4=a^4+C_4^1a^3\cdot 2b+C_4^2a^2\cdot (2b)^2+C_4^3a\cdot (2b)^3+(2b)^4.
   $$

   Вычислим коэффициенты:

   $$
   (a+2b)^4=a^4+8a^3b+24a^2b^2+32ab^3+16b^4.
   $$

2. В первом слагаемом должно получиться $$x^{10}$$, значит первый одночлен — $$x^2$$. По второму слагаемому:

   $$
   C_5^1(x^2)^4\cdot 2=10x^8,
   $$

   откуда второй одночлен равен $$2$$. Тогда

   $$
   (x^2+2)^5=(x^2)^5+C_5^1(x^2)^4\cdot 2+C_5^2(x^2)^3\cdot 2^2+C_5^3(x^2)^2\cdot 2^3+C_5^4x^2\cdot 2^4+2^5.
   $$

   Получаем:

   $$
   (x^2+2)^5=x^{10}+10x^8+40x^6+80x^4+80x^2+32.
   $$

Ответ

1) $$ (a+2b)^4=a^4+8a^3b+24a^2b^2+32ab^3+16b^4 $$;

2) $$ (x^2+2)^5=x^{10}+10x^8+40x^6+80x^4+80x^2+32 $$.