Упр.17.47 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 17.47. Найдите первые 1000 цифр после запятой в десятичной записи числа (v50+7)^1000.

Подробный ответ

Рассмотрим число $$a=(\sqrt{50}+7)^{1000}.$$

Заметим, что $$\sqrt{50}=5\sqrt{2},$$ поэтому $$\sqrt{50}+7>10.$$ Тогда

$$a>10^{1000}.$$

Теперь оценим число, сопряжённое к нему:

$$\left(\sqrt{50}-7\right)^{1000}=\frac{1}{(\sqrt{50}+7)^{1000}}.$$

Так как $$\sqrt{50}+7>10,$$ то

$$0<\frac{1}{(\sqrt{50}+7)^{1000}}<\frac{1}{10^{1000}}=10^{-1000}.$$

Следовательно, сумма

$$\left(\sqrt{50}+7\right)^{1000}+\left(\sqrt{50}-7\right)^{1000}$$

является целым числом. Значит, число $$\left(\sqrt{50}+7\right)^{1000}$$ отличается от целого числа на величину меньше $$10^{-1000}.$$

Так как $$\left(\sqrt{50}+7\right)^{1000}$$ больше $$10^{1000},$$ его десятичная запись имеет вид целого числа и 1000 цифр после запятой. При этом все эти цифры равны $$9,$$ потому что число на $$10^{-1000}$$ меньше следующего целого числа.