Упр.17.46 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 17.46. Вычислите СЃСѓРјРјСѓ 1C(n; 1)+2C(n; 2)+3C(n; 3)+…+nC(n; n).

Рассмотрим разложение бинома Ньютона:

$$
(1+x)^n=1+C_n^1x+C_n^2x^2+C_n^3x^3+\dots+C_n^nx^n.
$$

Продифференцируем обе части:

$$
n(1+x)^{n-1}=C_n^1+2C_n^2x+3C_n^3x^2+\dots+nC_n^nx^{n-1}.
$$

Подставим $$x=1$$:

$$
n(1+1)^{n-1}=C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+\dots+nC_n^n.
$$

Следовательно,

$$
C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+\dots+nC_n^n=n\cdot 2^{n-1}.
$$

Ответ

$$n\cdot 2^{n-1}$$