Упр.17.44 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 17.44. В выражении (1+v2)^200 раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Укажите наибольшее из слагаемых полученной суммы.

Подробный ответ

Общий член разложения бинома $$\left(1+\sqrt{2}\right)^{200}$$ имеет вид

$$a_{n+1}=C_{200}^{n}(\sqrt{2})^{n}, \quad n=0,1,2,\dots,200.$$

Найдём отношение соседних членов:

$$
\frac{a_{n+1}}{a_n}
=
\frac{C_{200}^{n}(\sqrt{2})^{n}}{C_{200}^{n-1}(\sqrt{2})^{n-1}}
=
\sqrt{2}\cdot \frac{200-n+1}{n}
=
\frac{\sqrt{2}(201-n)}{n}.
$$

Последовательность членов разложения возрастает, пока

$$\frac{\sqrt{2}(201-n)}{n}>1.$$

Решим неравенство:

$$
\sqrt{2}(201-n)>n
$$

$$
201\sqrt{2}>n(1+\sqrt{2})
$$

$$
n<\frac{201\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\approx 117{,}74.
$$

Значит, наибольшим будет член при $$n=117$$, то есть

$$C_{200}^{117}(\sqrt{2})^{117}.$$