Упр.17.43 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 17.43. Вычислите СЃСѓРјРјС‹ A=C(101; 1)+C(101; 3)+C(101; 5)+…+C(101; 101) Рё B=C(101; 0)+C(101; 2)+C(101; 4)+…+C(101; 100).

Рассмотрим биномиальную сумму:

$$\left(1+1\right)^{101}=\sum_{k=0}^{101} C_{101}^k = \left(C_{101}^0+C_{101}^2+C_{101}^4+\dots+C_{101}^{100}\right)+\left(C_{101}^1+C_{101}^3+C_{101}^5+\dots+C_{101}^{101}\right).$$

Значит,

$$A+B=2^{101}.$$

Теперь рассмотрим разность:

$$\left(1-1\right)^{101}=\sum_{k=0}^{101} (-1)^k C_{101}^k = \left(C_{101}^0+C_{101}^2+C_{101}^4+\dots+C_{101}^{100}\right)-\left(C_{101}^1+C_{101}^3+C_{101}^5+\dots+C_{101}^{101}\right).$$

Отсюда

$$A-B=0,$$

то есть

$$A=B.$$

Тогда

$$2A=2^{101},$$

$$A=2^{100}.$$

Следовательно,

$$B=2^{100}.$$

Ответ

$$2^{100}$$