Упр.17.42 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 17.42. Найдите количество нулей в конце десятичной записи значения выражения 999^1001+1.

Рассмотрим число

$$999^{1001}+1.$$

Представим $$999$$ как $$1000-1$$:

$$999^{1001}+1=(1000-1)^{1001}+1.$$

По формуле бинома Ньютона:

$$
(1000-1)^{1001}
=1000^{1001}-C_{1001}^{1}1000^{1000}+C_{1001}^{2}1000^{999}-\dots- C_{1001}^{1000}1000+(-1)^{1001}.
$$

Все слагаемые, кроме последнего, делятся на $$1000$$, то есть оканчиваются не менее чем на три нуля. Поэтому

$$
(1000-1)^{1001}+1
$$
имеет вид числа, кратного $$1000$$, но не кратного $$10000$$.

Значит, в конце десятичной записи этого числа ровно три нуля.

Ответ

3