Упр.17.41 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 17.41. Найдите количество нулей в конце десятичной записи значения выражения 1001^1000-1.

Разложим выражение по формуле бинома Ньютона:

$$
1001^{1000}-1=(1000+1)^{1000}-1
$$

$$
(1000+1)^{1000}=1000^{1000}+C_{1000}^{1}\cdot 1000^{999}+\dots+C_{1000}^{999}\cdot 1000+1
$$

Тогда

$$
1001^{1000}-1=1000^{1000}+C_{1000}^{1}\cdot 1000^{999}+\dots+C_{1000}^{999}\cdot 1000
$$

Во всех слагаемых есть множитель $$1000$$, значит число делится на $$1000=10^3$$. Следовательно, в конце его десятичной записи не менее 3 нулей.

Но наибольшая степень десятки, на которую делится это число, определяется последним слагаемым $$C_{1000}^{999}\cdot 1000$$, то есть ровно тремя нулями в конце каждого слагаемого, а значит и всего числа.

Однако в данном выражении после вычитания единицы остаётся число, кратное $$1000$$, и не кратное $$10000$$, поэтому количество нулей в конце равно $$3$$.

Ответ

3