Упр.17.40 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 17.40. Объясните, почему значения выражений 11^2, 11^3 похожи на строки треугольника Паскаля. Вычислите 11^4.

Подробный ответ

Представим число $$11$$ в виде $$10+1$$ и воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$$
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k.
$$

Тогда

$$
11^2=(10+1)^2=C_2^0\cdot 10^2+C_2^1\cdot 10\cdot 1+C_2^2\cdot 1^2
$$

$$
=1\cdot 100+2\cdot 10+1=100+20+1=121.
$$

Аналогично

$$
11^3=(10+1)^3=C_3^0\cdot 10^3+C_3^1\cdot 10^2+C_3^2\cdot 10+C_3^3
$$

$$
=1\cdot 1000+3\cdot 100+3\cdot 10+1=1000+300+30+1=1331.
$$

Коэффициенты в разложениях $$11^2$$ и $$11^3$$ совпадают со строками треугольника Паскаля: $$1,2,1$$ и $$1,3,3,1$$.

Теперь вычислим $$11^4$$:

$$
11^4=(10+1)^4=C_4^0\cdot 10^4+C_4^1\cdot 10^3+C_4^2\cdot 10^2+C_4^3\cdot 10+C_4^4
$$