Упр.17.38 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 17.38. Докажите, что суммы чисел треугольника Паскаля, стоящих на зелёных прямых (рис. 17.3), совпадают с числами Фибоначчи, т. е. с числами последовательности (u_n), заданной рекуррентно: u_1=1, u_2=1, u_(n+2)=u_(n+1)+u_(n), nєN.

Обозначим через $$u_n$$ сумму чисел треугольника Паскаля, лежащих на $$n$$-й зелёной прямой.

В треугольнике Паскаля каждый элемент выражается через два соседних из предыдущей строки:

$$C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k.$$

Поэтому сумма чисел на следующей зелёной прямой равна сумме двух предыдущих сумм:

$$u_{n+2}=u_{n+1}+u_n.$$

При этом для первых двух прямых получаем:

$$u_1=1,\qquad u_2=1.$$

Следовательно, последовательность $$u_n$$ задаётся рекуррентно так же, как числа Фибоначчи:

$$u_1=1,\quad u_2=1,\quad u_{n+2}=u_{n+1}+u_n,\quad n\in\mathbb N.$$

Значит, суммы чисел треугольника Паскаля, стоящих на зелёных прямых, совпадают с числами Фибоначчи.

Ответ

Суммы чисел на зелёных прямых образуют последовательность Фибоначчи: $$u_1=1,\ u_2=1,\ u_{n+2}=u_{n+1}+u_n.$$