Упр.17.37 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 17.37. Сколькими способами можно разложить n одинаковых шаров по трём различным ящикам так, чтобы ни один ящик не остался пустым?

Пусть в первый, второй и третий ящики попало соответственно $$x_1, x_2, x_3$$ шаров. Тогда

$$x_1+x_2+x_3=n, \qquad x_1\ge 1,\ x_2\ge 1,\ x_3\ge 1.$$

Сделаем замену:

$$y_1=x_1-1,\quad y_2=x_2-1,\quad y_3=x_3-1.$$

Тогда

$$y_1+y_2+y_3=n-3, \qquad y_1,y_2,y_3\ge 0.$$

Число неотрицательных решений этого уравнения равно числу способов выбрать 2 разделителя среди $$n-1$$ мест:

$$N=C_{n-1}^2.$$

Это и есть число способов разложить $$n$$ одинаковых шаров по трём различным ящикам так, чтобы ни один ящик не остался пустым.

Ответ

$$C_{n-1}^2$$