Упр.17.35 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 17.35. Сколькими способами можно разложить n различных шаров по трём одинаковым ящикам (некоторые ящики могут остаться пустыми)?

Пусть каждый из $$n$$ различных шаров можно положить в один из трёх одинаковых ящиков.

Сначала посчитаем число размещений по различимым ящикам: для каждого шара есть $$3$$ выбора, значит

$$3^n.$$

Теперь учтём, что ящики одинаковые, то есть перестановки ящиков не дают нового способа.

Рассмотрим возможные случаи:

• все три ящика непустые;
• ровно один ящик пуст;
• ровно два ящика пусты.

Если ящики различимы, то число размещений с тремя непустыми ящиками равно

$$3^n-3\cdot 2^n+3.$$

Делим на число перестановок ящиков $$3!$$, так как ящики одинаковые:

$$\frac{3^n-3\cdot 2^n+3}{3!}=\frac{3^n-3\cdot 2^n+3}{6}=\frac{3^{n-1}-2^n+1}{2}.$$

Если пусты два ящика, то все шары лежат в одном ящике. Для одинаковых ящиков это даёт $$1$$ способ.

Если пуст один ящик, то нужно выбрать, какой именно ящик пуст, и распределить шары по двум оставшимся непустым ящикам. Число таких способов равно

$$\frac{2^n-2}{2!}=2^{n-1}-1.$$

Тогда общее число способов:

$$\frac{3^{n-1}-2^n+1}{2}+\left(2^{n-1}-1\right)+1=\frac{3^{n-1}+1}{2}.$$

Ответ

$$\frac{3^{n-1}+1}{2}$$