Упр.17.33 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 17.33. Сколькими способами можно разложить n различных шаров по трём различным ящикам так, чтобы ни один ящик не остался пустым?

Общее число способов разложить $$n$$ различных шаров по трём различным ящикам равно

$$3^n.$$

Вычтем случаи, когда хотя бы один ящик пуст.

1) Если пусты два ящика, то все шары лежат в одном из трёх ящиков. Таких способов:

$$3.$$

2) Если пуст ровно один ящик, то выбираем, какой ящик пуст, — $$3$$ способа, а каждый из $$n$$ шаров кладём в один из двух оставшихся ящиков. Получаем:

$$3\cdot 2^n.$$

Тогда число способов, при которых ни один ящик не пуст, равно

$$
3^n-3\cdot 2^n+3.
$$

Ответ

$$3^n-3\cdot 2^n+3$$