Упр.17.27 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 17.27. При каком значении n восьмой член разложения выражения (x^(1/3)+1/x^2)^n по формуле бинома Ньютона не зависит от x?

Общий член разложения по формуле бинома Ньютона имеет вид

$$T_{k+1}=C_n^k\left(x^{1/3}\right)^{\,n-k}\left(\frac{1}{x^2}\right)^k.$$

Восьмой член соответствует $k=7$, значит

$$T_8=C_n^7\left(x^{1/3}\right)^{\,n-7}\left(\frac{1}{x^2}\right)^7.$$

Преобразуем степень при $x$:

$$T_8=C_n^7 \cdot x^{\frac{n-7}{3}} \cdot x^{-14}=C_n^7 \cdot x^{\frac{n-7}{3}-14}.$$

Чтобы восьмой член не зависел от $x$, показатель степени должен быть равен нулю:

$$\frac{n-7}{3}-14=0.$$

Решаем уравнение:

$$\frac{n-7}{3}=14,$$
$$n-7=42,$$
$$n=49.$$

Ответ

49