Упр.17.25 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 17.25. В выражении (v5+3^(1/3))^100 раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Какое количество полученных слагаемых являются рациональными?

Подробный ответ

При раскрытии скобок по формуле бинома Ньютона получаем слагаемые вида

$$C_{100}^k(\sqrt{5})^{100-k}\left(\sqrt[3]{3}\right)^k.$$

Чтобы такое слагаемое было рациональным, нужно, чтобы оба множителя с иррациональными степенями стали рациональными.

1) Для множителя $$\left(\sqrt{5}\right)^{100-k}$$ показатель должен быть чётным:

$$100-k=2m,$$

то есть $$k$$ — чётное число.

2) Для множителя $$\left(\sqrt[3]{3}\right)^k$$ показатель должен делиться на 3:

$$k=3n.$$

Значит, число $$k$$ должно делиться и на 2, и на 3, то есть на 6.

При этом $$0 \le k \le 100.$$

Считаем количество кратных 6 чисел от 0 до 100: