Упр.17.22 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 17.22. Докажите, что 1+C(100; 1)3+C(100; 2)3^2+…+C(100; 99)3^99+3^100=1-C(200; 1)3+C(200; 2)3^2-…-C(200; 199)3^199+3^200.

Обозначим левую часть равенства через $$S_1$$, а правую — через $$S_2$$:

$$
S_1=1+\mathrm{C}_{100}^{1}3+\mathrm{C}_{100}^{2}3^2+\cdots+\mathrm{C}_{100}^{99}3^{99}+3^{100},
$$
$$
S_2=1-\mathrm{C}_{200}^{1}3+\mathrm{C}_{200}^{2}3^2-\cdots-\mathrm{C}_{200}^{199}3^{199}+3^{200}.
$$

По биному Ньютона:

$$
(1+3)^{100}=\sum_{k=0}^{100}\mathrm{C}_{100}^{k}3^k
=1+\mathrm{C}_{100}^{1}3+\mathrm{C}_{100}^{2}3^2+\cdots+\mathrm{C}_{100}^{99}3^{99}+3^{100},
$$
значит,
$$
S_1=(1+3)^{100}=4^{100}=2^{200}.
$$

Аналогично:

$$
(1-3)^{200}=\sum_{k=0}^{200}\mathrm{C}_{200}^{k}(-3)^k
=1-\mathrm{C}_{200}^{1}3+\mathrm{C}_{200}^{2}3^2-\cdots-\mathrm{C}_{200}^{199}3^{199}+3^{200},
$$
следовательно,
$$
S_2=(1-3)^{200}=(-2)^{200}=2^{200}.
$$

Итак, $$S_1=S_2$$, что и требовалось доказать.

Ответ

$$
1+\mathrm{C}_{100}^{1}3+\mathrm{C}_{100}^{2}3^2+\cdots+\mathrm{C}_{100}^{99}3^{99}+3^{100}
=
1-\mathrm{C}_{200}^{1}3+\mathrm{C}_{200}^{2}3^2-\cdots-\mathrm{C}_{200}^{199}3^{199}+3^{200}.
$$