Упр.17.21 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 17.21. Докажите, что 1+C(100; 1)3+C(100; 2)3^2+…+C(100; 99)3^99+3^100=5^100-C(100; 1)5^99+C(100; 2)5^98-…-C(100; 99)5+1.

Обозначим левую часть равенства через $$S_1$$:

$$S_1=1+\mathrm{C}_{100}^{1}3+\mathrm{C}_{100}^{2}3^2+\cdots+\mathrm{C}_{100}^{99}3^{99}+3^{100}.$$

По формуле бинома Ньютона:

$$S_1=(1+3)^{100}=4^{100}.$$

Обозначим правую часть через $$S_2$$:

$$S_2=5^{100}-\mathrm{C}_{100}^{1}5^{99}+\mathrm{C}_{100}^{2}5^{98}-\cdots-\mathrm{C}_{100}^{99}5+1.$$

Снова применим формулу бинома Ньютона:

$$S_2=(5-1)^{100}=4^{100}.$$

Следовательно,

$$S_1=S_2,$$

что и требовалось доказать.

Ответ

$$1+\mathrm{C}_{100}^{1}3+\mathrm{C}_{100}^{2}3^2+\cdots+\mathrm{C}_{100}^{99}3^{99}+3^{100}=5^{100}-\mathrm{C}_{100}^{1}5^{99}+\mathrm{C}_{100}^{2}5^{98}-\cdots-\mathrm{C}_{100}^{99}5+1.$$