Упр.17.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 17.18. Вычислите СЃСѓРјРјСѓ 3^n+C(n; 1)3^(n-1)2^1+C(n; 2)3^(n-2)2^2+…+C(n; n-1)3^1 2^(n-1)+2^n.

Рассмотрим сумму

$$S=3^n+C_n^1 3^{n-1}2^1+C_n^2 3^{n-2}2^2+\dots+C_n^{n-1}3^1 2^{n-1}+2^n.$$

Это разложение по формуле бинома Ньютона:

$$\left(3+2\right)^n=\sum_{k=0}^{n} C_n^k 3^{n-k}2^k.$$

Следовательно,

$$S=(3+2)^n=5^n.$$

Ответ

$$5^n$$