Упр.16.9 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 16.9. Корнями многочлена x^3-2x^2+3x-4=0 являются три комплексных числа x_1, x_2 и x_3. Составьте кубическое уравнение, корни которого x_1+x_2, x_1+x_3 и x_2+x_3.

Пусть корни данного уравнения $$x^3-2x^2+3x-4=0$$ равны $$x_1,\;x_2,\;x_3.$$ По формулам Виета имеем:

$$x_1+x_2+x_3=2,$$
$$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=3,$$
$$x_1x_2x_3=4.$$

Найдём сумму новых корней:

$$
(x_1+x_2)+(x_1+x_3)+(x_2+x_3)=2(x_1+x_2+x_3)=2\cdot 2=4.
$$

Найдём сумму попарных произведений новых корней:

$$
\begin{aligned}
&(x_1+x_2)(x_1+x_3)+(x_1+x_2)(x_2+x_3)+(x_1+x_3)(x_2+x_3) \\
&= x_1^2+x_2^2+x_3^2+3(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3).
\end{aligned}
$$

Так как

$$
x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=2^2-2\cdot 3=-2,
$$

то

$$
-2+3\cdot 3=7.
$$

Найдём произведение новых корней:

$$
\begin{aligned}
&(x_1+x_2)(x_1+x_3)(x_2+x_3) \\
&=(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)-x_1x_2x_3 \\
&=2\cdot 3-4=2.
\end{aligned}
$$

Следовательно, искомое кубическое уравнение, корни которого равны $$x_1+x_2,\;x_1+x_3,\;x_2+x_3,$$ имеет вид:

$$
x^3-4x^2+7x-2=0.
$$

Ответ

$$x^3-4x^2+7x-2=0$$