Упр.16.8 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 16.8. Корнями многочлена x^3-x^2+4x-1=0 являются три комплексных числа x_1, x_2 и x_3. Составьте кубическое уравнение, корни которого x_1^2, x_2^2 и x_3^2.

Подробный ответ

Пусть корни данного уравнения $$x^3-x^2+4x-1=0$$ равны $$x_1,\;x_2,\;x_3.$$ Тогда по формулам Виета:

$$x_1+x_2+x_3=1,$$
$$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=4,$$
$$x_1x_2x_3=1.$$

Найдём суммы и произведения квадратов корней:

$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=1^2-2\cdot 4=-7,$$

$$x_1^2x_2^2+x_1^2x_3^2+x_2^2x_3^2=(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)^2-2x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3)=4^2-2\cdot 1\cdot 1=14,$$

$$x_1^2x_2^2x_3^2=(x_1x_2x_3)^2=1.$$

Следовательно, кубическое уравнение с корнями $$x_1^2,\;x_2^2,\;x_3^2$$ имеет вид:

$$x^3-(x_1^2+x_2^2+x_3^2)x^2+(x_1^2x_2^2+x_1^2x_3^2+x_2^2x_3^2)x-x_1^2x_2^2x_3^2=0,$$

$$x^3+7x^2+14x-1=0.$$