Упр.16.4 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) z^4-5z^2-36=0; 3) z^4+9=0;
2) z^3+3z^2+9z+27=0; 4) z^3-(4-i)z^2+(7-i)z-4=0.

1. $$z^4-5z^2-36=0.$$

   Сделаем замену $$t=z^2$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

   $$t^2-5t-36=0.$$

   $$D=25+144=169,$$

   $$t_{1,2}=\frac{5\pm 13}{2}.$$

   Отсюда $$t_1=-4,$$ $$t_2=9.$$

   Возвращаемся к переменной $$z$$:

   $$z^2=-4 \Rightarrow z=\pm 2i,$$

   $$z^2=9 \Rightarrow z=\pm 3.$$

2. $$z^3+3z^2+9z+27=0.$$

   Сгруппируем слагаемые:

   $$z^2(z+3)+9(z+3)=0,$$

   $$\left(z^2+9\right)(z+3)=0.$$

   Тогда

   $$z+3=0 \Rightarrow z=-3,$$

   $$z^2+9=0 \Rightarrow z^2=-9 \Rightarrow z=\pm 3i.$$

3. $$z^4+9=0.$$

   $$z^4=-9=9(\cos \pi+i\sin \pi).$$

   Тогда корни четвёртой степени:

   $$z=\sqrt{3}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\right)\right), \quad k=0,1,2,3.$$

   Получаем:

   $$z_1=\frac{\sqrt6}{2}+\frac{\sqrt6}{2}i,\quad z_2=-\frac{\sqrt6}{2}+\frac{\sqrt6}{2}i,$$

   $$z_3=-\frac{\sqrt6}{2}-\frac{\sqrt6}{2}i,\quad z_4=\frac{\sqrt6}{2}-\frac{\sqrt6}{2}i.$$

4. $$z^3-(4-i)z^2+(7-i)z-4=0.$$

   Преобразуем:

   $$z^3-4z^2+iz^2+7z-iz-4=0,$$

   $$\left(z^3-3z^2+iz^2+4z\right)+\left(-z^2+3z-iz-4\right)=0,$$

   $$z\left(z^2-3z+iz+4\right)-\left(z^2-3z+iz+4\right)=0,$$

   $$\left(z-1\right)\left(z^2-(3-i)z+4\right)=0.$$

   Отсюда $$z=1$$ или

   $$z^2-(3-i)z+4=0.$$

   Найдём дискриминант:

   $$D=(3-i)^2-16=9-6i-1-16=-8-6i=(1-3i)^2.$$

   Тогда

   $$z_{2,3}=\frac{(3-i)\pm(1-3i)}{2}.$$

   $$z_2=\frac{4-4i}{2}=2-2i,\quad z_3=\frac{2+2i}{2}=1+i.$$

Ответ

1) $$-2i,\,-3,\,2i,\,3$$

2) $$-3,\,-3i,\,3i$$

3) $$\frac{\sqrt6}{2}+\frac{\sqrt6}{2}i,\,-\frac{\sqrt6}{2}+\frac{\sqrt6}{2}i,\,-\frac{\sqrt6}{2}-\frac{\sqrt6}{2}i,\,\frac{\sqrt6}{2}-\frac{\sqrt6}{2}i$$

4) $$1,\,1+i,\,2-2i$$