Упр.16.3 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) z^4+15z^2-16=0;
2) z^3-2z^2+4z-8=0;
3) z^4+1=0;
4) z^3-(2+i)z62+2(1+i)z-2i=0.
$$z^4+15z^2-16=0.$$
Сделаем замену $$t=z^2$$. Тогда получаем квадратное уравнение:
$$t^2+15t-16=0.$$
$$D=15^2+4\cdot 16=225+64=289,$$
$$t_{1,2}=\frac{-15\pm 17}{2}.$$
Отсюда
$$t_1=-16,\quad t_2=1.$$
Возвращаемся к переменной $$z$$:
$$z^2=-16 \Rightarrow z=\pm 4i,$$
$$z^2=1 \Rightarrow z=\pm 1.$$
$$z^3-2z^2+4z-8=0.$$
Сгруппируем слагаемые:
$$z^2(z-2)+4(z-2)=0.$$
Вынесем общий множитель:
$$\left(z^2+4\right)(z-2)=0.$$
Тогда
$$z^2+4=0 \Rightarrow z=\pm 2i,$$
$$z-2=0 \Rightarrow z=2.$$
$$z^4+1=0.$$
Тогда
$$z^4=-1.$$
Представим число $$-1$$ в тригонометрической форме:
$$-1=\cos \pi+i\sin \pi.$$
Тогда корни четвёртой степени равны
$$z=\cos\left(\frac{\pi+2\pi k}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi+2\pi k}{4}\right),\quad k=0,1,2,3.$$
Получаем:
$$z_1=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i,\quad z_2=-\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i,$$
$$z_3=-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}i,\quad z_4=\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}i.$$
$$z^3-(2+i)z^2+2(1+i)z-2i=0.$$
Раскроем скобки:
$$z^3-2z^2-iz^2+2z+2iz-2i=0.$$
Сгруппируем:
$$(-iz^2+2iz-2i)+(z^3-2z^2+2z)=0.$$
Вынесем общий множитель:
$$-i(z^2-2z+2)+z(z^2-2z+2)=0.$$
$$\left(z-i\right)\left(z^2-2z+2\right)=0.$$
Тогда
$$z-i=0 \Rightarrow z=i,$$
$$z^2-2z+2=0.$$
Для квадратного уравнения:
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 2=4-8=-4.$$
$$z_{1,2}=\frac{2\pm 2i}{2}=1\pm i.$$
Ответ
1) $$-4i,\,-1,\,4i,\,1$$; 2) $$-2i,\,2i,\,2$$; 3) $$\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i,\,-\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i,\,-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}i,\,\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}i$$; 4) $$i,\,1-i,\,1+i$$.
