Упр.16.25 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 16.25. Сумма неотрицательных чисел а, b и с равна 1. Докажите, что ab+bc+ca-2abc < 7/27.

Подробный ответ

Обозначим

$$q=ab+bc+ca,\qquad r=abc.$$

Тогда нужно доказать, что

$$q-2r<\frac{7}{27}.$$

Рассмотрим многочлен

$$t^3-t^2+qt-r=(t-a)(t-b)(t-c).$$

Так как $$a+b+c=1$$ и $$a,b,c\ge 0,$$ то по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим

$$q=ab+bc+ca\le \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac13,$$

а также

$$r=abc\le \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3=\frac1{27}.$$

Теперь рассмотрим два случая.

1) Если $$a,b,c\le \frac12,$$ то

$$\left(\frac12-a\right)\left(\frac12-b\right)\left(\frac12-c\right)\ge 0.$$

Раскроем скобки:

$$\frac18-\frac14+\frac q2-r\ge 0,$$

откуда

$$\frac{q-2r}{2}\le \frac18.$$

Следовательно,

$$q-2r\le \frac14.$$

Но более точная оценка получается из записи

$$\left(\frac12-a\right)\left(\frac12-b\right)\left(\frac12-c\right)\le \left(\frac{\frac32-(a+b+c)}{3}\right)^3=\left(\frac16\right)^3=\frac1{216},$$

поэтому

$$\frac{q-2r}{2}-\frac18\le \frac1{216},$$

и значит

$$q-2r\le \frac7{27}.$$

2) Если $$a,b,c\ge \frac12,$$ то

$$\left(\frac12-a\right)\left(\frac12-b\right)\left(\frac12-c\right)\le 0.$$

Тогда

$$\frac18-\frac14+\frac q2-r\le 0,$$

то есть

$$\frac{q-2r}{2}\le \frac18,$$

откуда снова

$$q-2r\le \frac7{27}.$$