Упр.16.24 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 16.24. Целые числа а, b и с таковы, что каждое из чисел a+b+c и a^2+b^2+c^2 делится нацело на нечётное число n. Докажите, что число a^5+b^5+c^5 также делится нацело на число n.

Из условия известно, что

$$a+b+c \equiv 0 \pmod n, \qquad a^2+b^2+c^2 \equiv 0 \pmod n,$$

где $$n$$ — нечётное число.

Возведём первое сравнение в квадрат:

$$
(a+b+c)^2 \equiv 0 \pmod n.
$$

Тогда

$$
a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \equiv 0 \pmod n.
$$

Так как $$a^2+b^2+c^2 \equiv 0 \pmod n,$$ получаем

$$
2(ab+bc+ca) \equiv 0 \pmod n.
$$

Поскольку $$n$$ нечётно, число $$2$$ взаимно просто с $$n$$, значит

$$
ab+bc+ca \equiv 0 \pmod n.
$$

Теперь воспользуемся тождеством

$$
a^5+b^5+c^5=(a+b+c)(a^4+b^4+c^4)-(ab+bc+ca)(a^3+b^3+c^3)+abc(a^2+b^2+c^2).
$$

В правой части каждое слагаемое делится на $$n$$, так как

$$a+b+c \equiv 0 \pmod n,\quad ab+bc+ca \equiv 0 \pmod n,\quad a^2+b^2+c^2 \equiv 0 \pmod n.$$

Следовательно,

$$
a^5+b^5+c^5 \equiv 0 \pmod n.
$$

Ответ

$$a^5+b^5+c^5$$ делится нацело на $$n$$.