Упр.16.23 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 16.23. О действительных числах х, у и z известно, что x+y+z=5, x^2+y^2+z^2=9. Докажите, что 4 < xyz < 112/27.

Подробный ответ

Из условия имеем:

$$x+y+z=5, \qquad x^2+y^2+z^2=9.$$

Найдём сумму попарных произведений:

$$
(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz),
$$

откуда

$$
25=9+2(xy+xz+yz),
$$

$$
xy+xz+yz=\frac{25-9}{2}=8.
$$

Рассмотрим многочлен

$$
t^3-5t^2+8t-r=0,
$$

корнями которого являются числа $x$, $y$, $z$. Тогда

$$
r=xyz.
$$

Чтобы найти возможные значения $r$, рассмотрим функцию

$$
r(t)=t^3-5t^2+8t.
$$

Её производная:

$$
r'(t)=3t^2-10t+8.
$$

Найдём критические точки:

$$
3t^2-10t+8=0,
$$

$$
D=100-96=4,
$$

$$
t_1=\frac{10-2}{6}=\frac43, \qquad t_2=\frac{10+2}{6}=2.
$$

Так как

$$
r'(t)=3\left(t-\frac43\right)(t-2),
$$

то на отрезке $$\left[\frac43,2\right]$$ функция убывает, а вне его возрастает. Следовательно, при трёх действительных корнях значения $r$ лежат между значениями в критических точках:

$$
r\!\left(\frac43\right)=\frac{64}{27}-\frac{80}{9}+\frac{32}{3}=\frac{112}{27},
$$

$$
r(2)=8-20+16=4.
$$

Значит,

$$
4