Упр.16.21 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 16.21. Докажите, что каждый многочлен нечётной степени с действительными коэффициентами имеет действительный корень.

Подробный ответ

Пусть $$P(x)$$ — многочлен нечётной степени $$n=2k+1$$ с действительными коэффициентами.

Рассмотрим его поведение при больших по модулю значениях $$x$$. Старший член многочлена имеет вид $$a_nx^n$$, где $$a_n\neq 0$$. Так как степень нечётная, то при $$x\to +\infty$$ и $$x\to -\infty$$ значения многочлена имеют разные знаки:

$$
\lim_{x\to +\infty} P(x)=
\begin{cases}
+\infty, & a_n>0,\\
-\infty, & a_n<0,
\end{cases}
\qquad
\lim_{x\to -\infty} P(x)=
\begin{cases}
-\infty, & a_n>0,\\
+\infty, & a_n<0.
\end{cases}
$$

Следовательно, найдутся такие числа $$A$$ и $$B$$, что $$P(A)$$ и $$P(B)$$ имеют разные знаки. Многочлен непрерывен на всей числовой прямой, значит, по теореме о промежуточных значениях между $$A$$ и $$B$$ существует число $$x_0$$, для которого

$$P(x_0)=0.$$

Значит, многочлен нечётной степени с действительными коэффициентами обязательно имеет хотя бы один действительный корень.