Упр.16.20 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 16.20. Докажите, что каждый многочлен Р степени nєN с действительными коэффициентами можно разложить на линейные или квадратичные множители с действительными коэффициентами.

Докажем утверждение по индукции по степени многочлена $$n\in \mathbb{N}.$$

1. База индукции.

Если $$n=1,$$ то

$$P(x)=ax+b,$$

то есть многочлен уже является линейным множителем.

Если $$n=2,$$ то

$$P(x)=ax^2+bx+c,$$

то есть многочлен является квадратичным множителем.

2. Индукционный переход.

Пусть всякий многочлен степени $$k$$ с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами. Рассмотрим многочлен степени $$k+1$$:

$$P(x).$$

По основной теореме алгебры у него есть хотя бы один комплексный корень $$z_0,$$ то есть

$$P(z_0)=0.$$

Тогда

$$P(z)=(z-z_0)Q(z),$$

где $$Q(z)$$ — многочлен степени $$k.$$

Так как коэффициенты многочлена $$P$$ действительные, то вместе с корнем $$z_0$$ корнем является и сопряжённое число $$\overline{z_0}.$$ Поэтому возможны два случая.

Если $$z_0\in \mathbb{R},$$ то

$$P(z)=(z-z_0)Q(z),$$

и по предположению индукции многочлен $$Q(z)$$ раскладывается на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами.

Если $$z_0\notin \mathbb{R},$$ то вместе с ним корнем является $$\overline{z_0},$$ и тогда

$$P(z)=(z-z_0)(z-\overline{z_0})Q(z).$$

Перемножая сопряжённые множители, получаем

$$
(z-z_0)(z-\overline{z_0})
= z^2-(z_0+\overline{z_0})z+z_0\overline{z_0}.
$$

Так как $$z_0+\overline{z_0}\in \mathbb{R}$$ и $$z_0\overline{z_0}\in \mathbb{R},$$ то это квадратичный множитель с действительными коэффициентами. Следовательно,

$$P(z)=\bigl(z^2-(z_0+\overline{z_0})z+z_0\overline{z_0}\bigr)Q(z),$$

а многочлен $$Q(z)$$ по предположению индукции раскладывается на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами.

Таким образом, любой многочлен степени $$n$$ с действительными коэффициентами можно разложить на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами.

Ответ

Любой многочлен $$P$$ степени $$n\in \mathbb{N}$$ с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами.