Упр.16.2 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) z^2-10z+41=0; 3) z^2-2z-7-6i=0;
2) z^2+2(i-6)z+30=0; 4) z^2+2(i-2)z+3+4i=0.

Подробный ответ

$$z^2-10z+41=0$$
Найдём дискриминант:
$$D=(-10)^2-4\cdot 41=100-164=-64=(8i)^2.$$
Тогда
$$z=\frac{10\pm 8i}{2}=5\pm 4i.$$
$$z^2+2(i-6)z+30=0$$
Найдём дискриминант:
$$D=[2(i-6)]^2-4\cdot 30=4(i-6)^2-120.$$
$$D=4(i^2-12i+36)-120=4(-1-12i+36)-120=20-48i.$$
Заметим, что
$$20-48i=(6-4i)^2.$$
Тогда
$$z=\frac{-2(i-6)\pm (6-4i)}{2}.$$
Получаем:
$$z_1=\frac{12-2i+6-4i}{2}=9-3i,$$
$$z_2=\frac{12-2i-6+4i}{2}=3+i.$$
$$z^2-2z-7-6i=0$$
Найдём дискриминант:
$$D=(-2)^2-4(-7-6i)=4+28+24i=32+24i.$$
Заметим, что
$$32+24i=(6+2i)^2.$$
Тогда
$$z=\frac{2\pm (6+2i)}{2}.$$
Получаем:
$$z_1=\frac{2-6-2i}{2}=-2-i,$$
$$z_2=\frac{2+6+2i}{2}=4+i.$$
$$z^2+2(i-2)z+3+4i=0$$
Найдём дискриминант:
$$D=[2(i-2)]^2-4(3+4i)=4(i-2)^2-12-16i.$$
$$D=4(i^2-4i+4)-12-16i=4(-1-4i+4)-12-16i=-32i.$$
Заметим, что
$$-32i=(4-4i)^2.$$
Тогда
$$z=\frac{-2(i-2)\pm (4-4i)}{2}.$$
Получаем:
$$z_1=\frac{4-2i+4-4i}{2}=4-3i,$$
$$z_2=\frac{4-2i-4+4i}{2}=i.$$