Упр.16.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 16.18. О действительных числах х, у и z известно, что x+y+z, xy+xz+yz и xyz — рациональные числа. Можно ли гарантировать, что среди чисел х, у и z есть рациональные?

Подробный ответ

Рассмотрим многочлен

$$t^3-(x+y+z)t^2+(xy+xz+yz)t-xyz=0.$$

По условию его коэффициенты рациональны. Значит, можно подобрать такие рациональные значения суммы, суммы попарных произведений и произведения, при которых корни этого многочлена не будут рациональными.

Например, возьмём

$$x+y+z=5,\quad xy+xz+yz=1,\quad xyz=-4.$$

Тогда числа $x$, $y$, $z$ являются корнями уравнения

$$t^3-5t^2+t+4=0.$$

Разложим многочлен на множители:

$$t^3-5t^2+t+4=(t-4)(t^2-t-1).$$

Отсюда

$$t=4,\quad t=\frac{1-\sqrt5}{2},\quad t=\frac{1+\sqrt5}{2}.$$

Два корня иррациональны, хотя все три выражения $x+y+z$, $xy+xz+yz$ и $xyz$ рациональны.

Следовательно, гарантировать наличие рационального числа среди $x$, $y$, $z$ нельзя.