Упр.16.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) {(x+y+z=2, xy+xz+yz=-1, 1/x+1/y+1/z=1/2);
2) {(x+y+z=2, x^2+y^2+z^2=6, x^3+y^3+z^3=8).

1) Из третьего уравнения получим:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$$

$$\frac{xy+xz+yz}{xyz}=\frac{1}{2}.$$

Так как $$xy+xz+yz=-1,$$ то

$$\frac{-1}{xyz}=\frac{1}{2}, \qquad xyz=-2.$$

Рассмотрим многочлен, корнями которого являются числа $$x,\ y,\ z$$:

$$t^3-(x+y+z)t^2+(xy+xz+yz)t-xyz=0.$$

Подставим найденные значения:

$$t^3-2t^2-t+2=0.$$

Разложим на множители:

$$t^3-2t^2-t+2=t^2(t-2)-1(t-2)=(t-2)(t^2-1)=(t-2)(t-1)(t+1).$$

Следовательно, $$x,\ y,\ z$$ — это числа $$-1,\ 1,\ 2$$ в некотором порядке.

Значит, все решения системы:

$$(-1;\ 1;\ 2),\ (-1;\ 2;\ 1),\ (1;\ -1;\ 2),\ (1;\ 2;\ -1),\ (2;\ -1;\ 1),\ (2;\ 1;\ -1).$$

2) Из первого уравнения:

$$x+y+z=2.$$

Используем формулу:

$$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+xz+yz).$$

Тогда

$$6=2^2-2(xy+xz+yz),$$

$$6=4-2(xy+xz+yz),$$

$$xy+xz+yz=-1.$$

Теперь для суммы кубов используем тождество:

$$x^3+y^3+z^3-(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)+(xy+xz+yz)(x+y+z)= -3xyz.$$

Подставим данные:

$$8-2\cdot 6+(-1)\cdot 2=-3xyz,$$

$$8-12-2=-3xyz,$$

$$-6=-3xyz,$$

$$xyz=2.$$

Рассмотрим многочлен с корнями $$x,\ y,\ z$$:

$$t^3-2t^2-t+2=0.$$

Разложим его на множители:

$$t^3-2t^2-t+2=(t-2)(t^2-1)=(t-2)(t-1)(t+1).$$

Значит, $$x,\ y,\ z$$ — это числа $$-1,\ 1,\ 2$$ в некотором порядке.

Все решения системы:

$$(-1;\ 1;\ 2),\ (-1;\ 2;\ 1),\ (1;\ -1;\ 2),\ (1;\ 2;\ -1),\ (2;\ -1;\ 1),\ (2;\ 1;\ -1).$$

Ответ

1) $$(-1;\ 1;\ 2),\ (-1;\ 2;\ 1),\ (1;\ -1;\ 2),\ (1;\ 2;\ -1),\ (2;\ -1;\ 1),\ (2;\ 1;\ -1).$$

2) $$(-1;\ 1;\ 2),\ (-1;\ 2;\ 1),\ (1;\ -1;\ 2),\ (1;\ 2;\ -1),\ (2;\ -1;\ 1),\ (2;\ 1;\ -1).$$