Упр.16.14 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 16.14. Докажите, что если комплексное число z_0 является корнем многочлена Р с действительными коэффициентами, то комплексное число !z_0 также является корнем многочлена Р.

Пусть

$$P(z)=a_0z^n+a_1z^{n-1}+\dots+a_{n-1}z+a_n,$$

где все коэффициенты $$a_0,a_1,\dots,a_n$$ — действительные числа.

Тогда для любого комплексного числа $$z$$ имеем

$$\overline{P(z)}=\overline{a_0z^n+a_1z^{n-1}+\dots+a_{n-1}z+a_n}.$$

Так как коэффициенты действительные, то $$\overline{a_k}=a_k$$, а также

$$\overline{z^m}=(\overline z)^m,$$

поэтому

$$\overline{P(z)}=a_0\overline z^{\,n}+a_1\overline z^{\,n-1}+\dots+a_{n-1}\overline z+a_n=P(\overline z).$$

Теперь, если $$z_0$$ — корень многочлена $$P$$, то

$$P(z_0)=0.$$

Возьмём комплексно-сопряжённое от обеих частей:

$$\overline{P(z_0)}=\overline 0=0.$$

Но по доказанному выше

$$\overline{P(z_0)}=P(\overline{z_0}),$$

значит

$$P(\overline{z_0})=0.$$

Следовательно, число $$\overline{z_0}$$ тоже является корнем многочлена $$P$$.

Ответ

Если $$z_0$$ — корень многочлена с действительными коэффициентами, то $$\overline{z_0}$$ также является его корнем.