Упр.16.13 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 16.13. Найдите остаток от деления многочлена P(x)=x^200-x^101+5 на двучлен x^2+1.

При делении многочлена на двучлен $$x^2+1$$ остаток имеет вид $$ax+b$$, где $$a$$ и $$b$$ — числа.

Так как $$x^2+1=0,$$ то $$x^2=-1.$$ Тогда

$$
x^{200}=(x^2)^{100}=(-1)^{100}=1,
$$
$$
x^{101}=x\cdot (x^2)^{50}=x\cdot (-1)^{50}=x.
$$

Следовательно,

$$
P(x)=x^{200}-x^{101}+5 \equiv 1-x+5=6-x \pmod{x^2+1}.
$$

Значит, остаток от деления равен $$-x+6.$$

Ответ

$$-x+6$$