Упр.16.12 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 16.12. Найдите остаток от деления многочлена P(x)=x^120+2x^65+2 на трёхчлен x^2-x+1.

Так как делим на трёхчлен $$x^2-x+1,$$ то остаток имеет вид $$ax+b.$$

Из равенства $$x^2-x+1=0$$ получаем

$$x^2=x-1.$$

Тогда

$$x^3=x\cdot x^2=x(x-1)=x^2-x=(x-1)-x=-1,$$

значит,

$$x^6=1.$$

Следовательно,

$$x^{120}=(x^6)^{20}=1,$$

$$x^{65}=x^{60}\cdot x^5=(x^6)^{10}\cdot x^5=x^5.$$

Найдём $$x^5$$ через степени до второй:

$$x^3=-1,$$

$$x^4=-x,$$

$$x^5=-x^2=- (x-1)=1-x.$$

Тогда

$$P(x)=x^{120}+2x^{65}+2 \equiv 1+2(1-x)+2=5-2x.$$

Значит, остаток от деления равен $$-2x+5.$$

Ответ

$$-2x+5$$