Упр.16.11 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 16.11. Решите уравнение z^8-z^6+z^4-z^2+1=0.

Рассмотрим уравнение:

$$z^8-z^6+z^4-z^2+1=0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$z^8-z^6+z^4-z^2+1=(z^2+1)(z^8-z^6+z^4-z^2+1).$$

Тогда получаем:

$$z^{10}+1=0,$$

то есть

$$z^{10}=-1.$$

Представим число $$-1$$ в тригонометрической форме:

$$-1=\cos \pi+i\sin \pi.$$

Тогда все корни уравнения имеют вид

$$z=\cos \frac{\pi+2\pi k}{10}+i\sin \frac{\pi+2\pi k}{10}, \quad k=0,1,2,\dots,9.$$

Проверим посторонние корни, возникающие из множителя $$z^2+1=0$$:

$$z^2=-1=\cos \pi+i\sin \pi,$$

откуда

$$z=\cos \left(\frac{\pi}{2}+\pi n\right)+i\sin \left(\frac{\pi}{2}+\pi n\right), \quad n\in \mathbb{Z}.$$

Из них подходят только те, которые входят в множество корней уравнения $$z^{10}=-1$$. Это значения при $$k=2$$ и $$k=7$$:

$$z=\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}, \qquad z=\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}.$$

Следовательно, все решения исходного уравнения:

$$z=\cos \frac{\pi+2\pi k}{10}+i\sin \frac{\pi+2\pi k}{10}, \quad k=0,1,3,4,5,6,8,9.$$

Ответ

$$z=\cos \frac{\pi+2\pi k}{10}+i\sin \frac{\pi+2\pi k}{10}, \quad k=0,1,3,4,5,6,8,9.$$