Упр.15.8 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (1-i)^14; 3) (5/13-12/13 i)^10; 5) (1-i)^14/(1+v3i)^9.
2) (v3/2+1/2 i)^15; 4) (1+i)^10 (v3+i)^8;

1. $$\left(1-i\right)^{14}=\left((1-i)^2\right)^7=\left(1-2i+i^2\right)^7=\left(-2i\right)^7.$$

   $$\left(-2i\right)^7=-2^7i^7=-128i^3=128i.$$

2. $$\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i\right)^{15}=\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)^{15}.$$

   $$=\cos\frac{15\pi}{6}+i\sin\frac{15\pi}{6}=\cos\frac{5\pi}{2}+i\sin\frac{5\pi}{2}=i.$$

3. $$\left(\frac{5}{13}-\frac{12}{13}i\right)^{10}=\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)^{10}=\cos 10\varphi+i\sin 10\varphi,$$
   где
   $$\cos\varphi=\frac{5}{13},\qquad \sin\varphi=-\frac{12}{13}.$$

   Тогда
   $$\varphi=-\arccos\frac{5}{13},$$
   и потому
   $$\left(\frac{5}{13}-\frac{12}{13}i\right)^{10}=\cos\left(-10\arccos\frac{5}{13}\right)+i\sin\left(-10\arccos\frac{5}{13}\right).$$

4. $$\left(1+i\right)^{10}\left(\sqrt3+i\right)^8=\left(1+2i-1\right)^5\cdot\left(2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)\right)^8.$$

   $$=(2i)^5\cdot 2^8\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)=2^{13}i\left(-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right).$$

   $$=2^{12}\left(\sqrt3-i\right)=4096\sqrt3-4096i.$$

5. $$\frac{(1-i)^{14}}{(1+\sqrt3\,i)^9}=\frac{\left((1-i)^2\right)^7}{\left(2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)\right)^9}.$$

   $$=\frac{(-2i)^7}{2^9\left(\cos 3\pi+i\sin 3\pi\right)}=\frac{-128i^7}{512(-1)}=\frac{-128i^3}{-512}=-\frac{i}{4}.$$

Ответ

1) $$128i$$; 2) $$i$$; 3) $$\cos\left(-10\arccos\frac{5}{13}\right)+i\sin\left(-10\arccos\frac{5}{13}\right)$$; 4) $$4096\sqrt3-4096i$$; 5) $$-\frac{i}{4}$$.